Witam!
"Punktów niby dużo, ale dla skrajnych częstotliwości 'uciekają' w jedną stronę diagramu Smitha. Z przeciwnej strony robi się pusto"
i prawdopodobnie również z tego powodu algorytm ślepego przeszukiwania w otoczeniu najlepszych rezultatów wstępnych jest tak skuteczny.
==================================================
Znalazłem chwilę na krótką analitykę problemu.
Zgodnie z pokazanym rysunkiem system dopasowania do źródła o częstotliwości F i impedancji R0 wymaga aby obciążenie Zl było równe impedancji R0.
Dla uproszczenia założyłem, że:
- mierzymy na częstotliwości F=7MHz
- impedancja źródła jest czysto rezystancyjna i wynosi 50 omów
- impedancja obciążenie jest czysto rezystancyjna i wynosi 200 omów
- dopasowanie odbywa się "w górę" a więc topologia dopasowania jest typu LC
Tak poczynione założenia upraszczają nieco wzory, które i dla tych założeń są dość skomplikowane ale łatwiej w nich wyłowić jakieś regularności.
Tak więc układ LC ma dopasować do R0=50 omów obciążenie 200 omów na częstotliwości 7MHz. Oczywiście elementy LC muszą być w rezonansie na częstotliwości F=7MHz ale tą zależność spełnia nieskończona ilość par LC a jedynie jedna z nich zapewni dopasowanie (dla przypomnienia Frez=1/2/pi()/sqrt(L*C))
Szukamy więc takiej wartości Zl=R+jX, która będzie równa 50 omów co jest warunkiem najlepszego dopasowania czyli Zl=R+jX=50
Wynika z tego również, że R=50 a X=0
Zl to szeregowe połączenie cewki L i pary równolegle połączonych C||Rl a zatem przy założeniu, że omega=2*pi()*F:
Zl=j*omega*L + (Rl*1/(1/j*omega*C))/(Rl+1/(j*omega*C)) = j*omega*L + Rl/(j*omega*C) * (j*omega*C)/(1+j*Rl*omega*C)
Zl=j*omega*L +Rl/(1+j*omega*Rl*C)
mnożąc licznik i mianownik drugiego członu przez (1-j*omega*Rl*C) otrzymuje się ostatecznie:
Zl=Rl/(1+Rl^2*omega^2*c^2) +j(omega*L -(Rl^2*omega*C)/(1+Rl^2*omega^2*C^2))
a zatem część rzeczywista Zl wynosi R=Rl/(1+Rl^2*omega^2*C^2) i powinna być równa 50 omów (dla dopasowania)
a część urojona to omega*L -(Rl^2*omega*C)/(1+Rl^2*omega^2*C^2) i powinna być równa 0 (dla dopasowania)
Spróbowałem zrobić kilka wykresów 3d zarówno dla Zl jak i dla jego składników R i X w zależności od L i C. Ponieważ idealne dopasowanie obu oporności na częstotliwości 7MHz zapewniają L=1.969uH i C=196.903pF to wykresy koncentrują się wokół wartości nieco większych i mniejszych od podanych
Na początek wykres modułu impedancji |Zl|-50 na dwóch rysunkach widziany pod różnymi kątami. Jak widać jest to dość złożona funkcja ale przybierająca wartości zarówno większe jak i mniejsze od 50 omów a rozwiązanie dopasowania leży gdzieś na płaszczyźnie leżącej ponad płaszczyzną LC na wysokości 0 (bo |Z|-50)
Kolejne rysunki pokazują jak wygląda wykres abs(|Zl|-50) a więc zmieniony tak, że rozwiązanie na pewno leży na płaszczyżnie o wartości impedancji = 0
W kilku rzutach pod różnymi kątami widać złożoność tej funkcji a ostatni najlepiej pokazuje przebieg rozwiązania dla |Zl|=0 - to umowna linia środkowa najbardziej intensywnego zakresu w kolorze fioletowym. Wszędzie tam moduł impedancji ma wartość 50 ale jedynie jedna z kombinacji ma część urojoną równą 0 (właśnie dla
L=1.969uH i C=196.903pF) - nie widać tego w sposób oczywisty na tym wykresie.
Ostatni rysunek pokazuje widok zmienności tak jakby był widziany wprost z góry.
Ten rysunek pokazuje przebieg zmienności części rzeczywistej Zl a więc R, a dokładniej abs(R-50) i widać, że dla danej częstotliwości
R jest stałe dla jednej, konkretnej wartości C - właśnie 196.903pF
Ostatnia para rysunków pokazuje zależność części urojonej Zl czyli zależność X a dokładniej abs(X) od L i C. Ta zależność jest nieco bardziej złożona niż wykres dla części rzeczywistej bo zależy zarówno od L jak i od C.
Ponieważ ten rysunek jest nieco obrócony w stosunku do wykresu części rzeczywistej to być może nie widać od razu, że optymalne dopasowanie
będzie znajdować się na przecięciu obu wykresów dla symbolicznych linii zera (najbardziej fioletowa część wykresu) przebiegu dla R i X.
Dla mnie największym zaskoczeniem jest fakt, że dla ustalonej wartości Rl i częstotliwości, jedna wartość pojemności zapewnia stałą wartość
części rzeczywistej Zl na żądanym poziomie (w tym przypadku 50 omów) czego nie zdołałem dostrzec ze wzoru na Zl gdzie widać teraz wyraźnie tą zależność.
Na podstawie wykonanej analizy przyszło mi do głowy w jaki sposób można zbudować kolejny algorytm szybkiego dopasowania. Niestety, wymaga on znajomości częstotliwości na jakiej trzeba zrobić dopasowanie ale jest to możliwe z wykorzystaniem tego samego chip-a co do tej pory - ATmega328 powinien z sobie z tym poradzić, być może trzeba by dołożyć szybki dzielnik przez 4.
Taki algorytm mógłby wyglądać następująco:
1. Mierzymy częstotliwość dopasowania F i wyliczamy omega=2*pi()*F
2. Z zależności R=Rl/(1+Rl^2*omega^2*C^2)=R0 wyliczamy C jako sqrt((Rl/R0-1)/(omega^2*Rl^2))
3. Ze wzoru na rezonans wyliczamy L jako 1/(omega^2*C).
W ten sposób znamy dokładne wartości L i C potrzebne do dopasowania bez żadnych pomiarów poza częstotliwością sygnału.
4. Ustalamy najbliższe, możliwe do ustawienia wartości L i C i w jednym lub co najwyżej w 4 pomiarach ustalamy najlepsze dopasowanie.
Gdyby skrzynka umożliwiała ciągłe wartości zmian dla L i C (wariometr + kondensator zmienny) to wystarczyłby jeden ruch mechanizmów.
Niestety, kondensator zmienny i wariometr znacząco zwiększą rozmiary urządzenia ale największy mankament tej metody to konieczność znajomość obciążenia Rl co jest możliwe w warunkach laboratoryjnych ale nie z konkretną anteną, która na pewno nie jest czysto rezystancyjna co skomplikuje konieczne wzory obliczeń.
Ostatecznie więc chyba metoda SBF (SimplifiedBrutalForce), niewymagająca żadnych założeń i dodatkowych pomiarów poza ślepym przeglądaniem dostępnej przestrzeni ustawień zwycięży ;-)
L.J.
